페아노 공리계_(비교)

		r12 vs r13
...	...
19	19	다만 페아노가 1889년 처음 페아노 공리계를 발표했던 당시 사용된 방식이라 짚고 넘어가는 게 중요하다. 특히 [[수학적 귀납법]]이 성립하게 만드는 이유를 2차 논리로 써 두었을 뿐인 만큼 인간 기준에선 나름 직관적(?)인 정의이기도 하다. [math(\phi(x))]를 임의의 자연수 양화 명제로 바꿔서 생각해 보자.~~이해가 쏙쏙되잖아 리슝좍아~~
20	20
21	21	참고로 집합을 사용하는 구성적 정의에서는 그냥 [[부분집합]]으로 약화시켜서 생각해도 되는데, 이 경우 [math(\N(n) \to \phi(n))]이 필요없고 그냥 상등에 의해 [math(\N = \phi)]라고 쓸 수도 있다. 물론 부분집합이라는 가정이 없는 경우 [math(\N \subset \phi)]가 될 것이다.
	22
	23	== ZFC의 공리적 존재 함의에 기반한 구성적 정의 ==
	24	사실 수학과 저학년 학생들은 이게 더 익숙하다. 쉽게 말해서 위의 공리계는 '이런 게 있다', '이렇다면, 저렇다' 같은 고차논리(higher-order logic)적 표현이랑 proof theory, model theory식 소리가 가득한데 집합으로 환원해서 생각하면~~부분집합인 동시에 원소라는 걸 뇌로 상상하는 게 어렵지~~ 직관적으로(?) 머리로 떠올려 생각할 수도 있다(!). 뭣보다 집합이라는 도구를 이미 다 갖추고 있기 때문에 위의 공리적 방법이랑 비교해 너무 날먹이다. 수학과 신입생들은 ZFC가 외워야 할 게 많다고 어려워하지만 실은 ZFC는 일종의 마트 가면 볼 수 있는 공구세트, 주방도구세트 비슷한 느낌이다. 이미 모든 필요한 공리와 존재(existence)의 보장이 다 되어있으니 앉아서 먹기만 하면 된다.

페아노 공리계(비교)

페아노 공리계_(비교)